Phase-space propagation of the time independent schrödinger equation for one-dimensional potentials

Abstract

Las barreras y pozos de potencial cuánticos tienen múltiples aplicaciones para representar sistemas a escalas atómicas como semiconductores, materiales ópticos o enlaces químicos. Si bien estos sistemas se pueden resolver con la ecuación de Schrödinger de manera exacta o con aproximaciones numéricas y matemáticas, sus metodologías resultan ser complejas, poco intuitivas y muy particulares para cada caso que resulta difícil generalizarlo a otras formas de potencial. Para ello, se empleó el formalismo de espacio de fases para resolver la TISE en sistemas de pozos y barreras rectangulares 1D. Se encontró que la función de onda Ψ se puede obtener mediante transformaciones lineales de figuras geométricas (elipses o rectas) que dan a los estados cuánticos. Para el caso de la barrer, se obtuvo que la transmitancia se puede representar como una razón de integrales de superficie de las elipses. Para el caso del pozo, se encontró que los estados ligados están dados por una ecuación trascendental, cuya derivada da como resultado una ecuación diferencial. Se concluyó que los casos de barreras y pozos de potencial se pueden analizar como un mismo sistema y que los estados ligados y los estados resonantes corresponden al mismo estado conectado.

Quantum potential barriers and wells have multiple applications to represent systems at atomic scales such as semiconductors, optical materials, or chemical bonds. Although these systems can be solved with the Schrödinger equation exactly or with numerical and mathematical approximations, their methodologies turn out to be complex, counterintuitive, and very particular for each case, making it difficult to generalize to other potential forms. For this purpose, the phase-space formalism was used to solve the TISE in 1D rectangular well and barrier systems. It was found that the wave function Ψ can be obtained through linear transformations of geometric figures (ellipses or lines) that give the quantum states. For the barrier case, it was obtained that the transmittance can be represented as a ratio of surface integrals of the ellipses. For the well case, it was found that the bound states are given by a transcendental equation, whose derivative results in a differential equation. It was concluded that the cases of potential barriers and wells can be analyzed as the same system and that the bound states and resonant states correspond to the same connected state.